1 . Закон всемирного тяготения

Согласно закону всемирного тяготения, изученному в курсе физики, все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

 

где m₁ и m₂ — массы тел; r — расстояние между ними; G — гравитационная постоянная.

Открытию закона всемирного тяготения во многом спо­собствовали законы движения планет, сформулированные Кеплером, и другие достижения астрономии XVII в. Так, зна­ние расстояния до Луны позволило Исааку Ньютону (1643 — 1727) доказать тождественность силы, удерживающей Луну при ее движении вокруг Земли, и силы, вызывающей падение тел на Землю.

Ведь если сила тяжести меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, как это следует из закона всемирного тяготения, то Луна, находящаяся от Земли на расстоянии примерно 60 ее радиусов, должна испытывать ускорение в 3600 раз меньшее, чем ускорение силы тяжести на поверхности Зем­ли, равное 9,8 м/с². Следовательно, ускорение Луны должно состав­лять 0,0027 м/с².

В то же время Луна, как любое тело, равномерно движущееся по окружности, имеет ускорение а = ω²r, где ω — ее угловая скорость, r — радиус ее орбиты. Если считать, что радиус Земли равен 6400 км, то радиус лунной орбиты будет составлять r = 60 · 6 400 000 м = 3,84 · 10⁶ м. Звездный период обращения Луны Т = 27,32 суток, в секундах состав­ляет 2,36 · 10⁶ с. Тогда ускорение орбитального движения Луны

Равенство этих двух величин ускорения доказывает, что сила, удерживающая Луну на орбите, есть сила земного при­тяжения, ослабленная в 3600 раз по сравнению с действую­щей на поверхности Земли.

Можно убедиться и в том, что при движении планет в со­ответствии с третьим законом Кеплера, их ускорение и дейст­вующая на них сила притяжения Солнца обратно пропорциональны квадрату расстояния, как это следует из закона все­мирного тяготения. Действительно, согласно третьему закону Кеплера отношение кубов больших полуосей орбит d и квад­ратов периодов обращения T есть величина постоянная:

Ускорение планеты равно

Из третьего закона Кеплера следует

поэтому ускорение планеты равно

Итак, сила взаимодействия планет и Солнца удовлетво­ряет закону всемирного тяготения.

2. Возмущения о движении тел Солнечной системы

Законы Кеплера строго выполняются, если рассматривается движение двух изолированных тел (Солнце и планета) под действием их взаимного притяжения. Однако в Солнечной системе планет много, все они взаимодействуют не только с Солнцем, но и между собой. Поэтому движение планет и дру­гих тел не в точности подчиняется законам Кеплера. От­клонения тел от движения по эллипсам называют возмуще­ниями.

Возмущения эти невелики, так как масса Солнца гораздо больше массы не только отдельной планеты, но и всех планет в целом. Наибольшие возмущения в движении тел Солнеч­ной системы вызывает Юпитер, масса которого в 300 раз пре­вышает массу Земли. Особенно заметны отклонения астеро­идов и комет при их прохождении вблизи Юпитера.

В настоящее время возмущения учитываются при вычис­лении положения планет, их спутников и других тел Солнеч­ной системы, а также траекторий космических аппаратов, запускаемых для их исследования. Но ещё в XIX в. расчет воз­мущений позволил сделать одно из самых известных в науке открытий «на кончике пера» — открытие планеты Нептун.

Проводя очередной обзор неба в поиске неизвестных объектов, Вильям Гершель в 1781 г. открыл планету, назван­ную впоследствии Ураном. Спустя примерно полвека стало очевидно, что наблюдаемое движение Урана не согласуется с расчетным даже при учете возмущений со стороны всех из­вестных планет, На основе предположения о наличии еще одной «заурановой» планеты были сделаны вычисления ее орбиты и положения на небе. Независимо друг от друга эту задачу решили Джон Адамс в Англии и Урбен Леверье во Франции. На основе расчетов Леверье немецкий астроном Иоганн Галле 23 сентября 1846 г, обнаружил в созвездии Во­долея неизвестную ранее планету — Нептун. Это открытие стало триумфом гелиоцентрической системы, важнейшим подтверждением справедливости закона всемирного тяготе­ния. В дальнейшем в движении Урана и Нептуна были заме­чены возмущения, которые стали основанием для предположения о существовании в Солнечной системе еще одной планеты. В 1930 г, после просмотра большого количества фотографий звездного неба был обнаружен Плутон, кото­рый, как оказалось, является одним из множества объектов, расположенных за орбитой Нептуна.

3. Масса и плотность Земли

Закон всемирного тяготения позволил определить массу на­шей планеты. Исходя из закона всемирного тяготения, уско­рение свободного падения можно выразить так:

Подставим в формулу известные значения этих величин: g = 9,8 м/с², G = 6,67 · 10^-11 Н · м²/кг², R = 6370 км — и по­лучим, что масса Земли М = 6 · 10²⁴ кг.

Зная массу и объем земного шара, можно вычислить его среднюю плотность: 5,5 · 10³ кг/м³. С глубиной за счет увеличения давления и содержания тяжелых элементов плотность возрастает.

4. Определение массы небесных тел

Более точная формула третьего закона Кеплера, которая бы­ла получена Ньютоном, дает возможность определить одну из важнейших характеристик любого небесного тела — мас­су. Выведем эту формулу, считая (в первом приближении) орбиты планет круговыми.

Пусть два тела, взаимно притягивающиеся и обращаю­щиеся вокруг общего центра масс, имеющие массы m₁ и m₂ находятся от центра масс па расстоянии r₁ и r₂ и обращаются вокруг него с периодом Т. Расстояние между их центрами R = r₁ + r₂. На основании закона всемирного тяготения уско­рение каждого из этих тел равно:

Угловая скорость обращения вокруг центра масс составляет ω = 2π²/T. Тогда центростремительное ускорение выра­зится для каждого тела так:

Приравняв полученные для ускорений выражения, выра­зив из них r₁ и r₂ и сложив их почленно, получаем:

откуда

Поскольку в правой части этого выражения находятся только постоянные величины, оно справедливо для любой системы двух тел, взаимодействующих по закону тяготения и обращающихся вокруг общего центра масс, — Солнце и пла­нета, планета и спутник. Определим массу Солнца, для этого запишем выражение:

где М — масса Солнца; m₁ — масса Земли; т₂ — масса Луны; Т₁ и а₁ — период обращения Земли вокруг Солнца (год) и большая полуось ее орбиты; Т₂ и а₂ — период обращения Лу­ны вокруг Земли и большая полуось лунной орбиты.

Пренебрегая массой Земли, которая ничтожно мала по сравнению с массой Солнца, и массой Луны, которая в 81 раз меньше массы Земли, получим:

Подставив в формулу соответствующие значения и при­няв массу Земли за 1, мы получим, что Солнце примерно в 333 000 раз по массе больше нашей планеты.

Массы планет, не имеющих спутников, определяют по тем возмущениям, которые они оказывают на движение асте­роидов, комет или космических аппаратов, пролетающих в их окрестностях.

 5. Приливы

Под действием взаимного притяжения частиц тело стремит­ся принять форму шара. Если эти тела вращаются, то они де­формируются, сжимаются вдоль оси вращения.

Кроме того, изменение их формы происходит и под дей­ствием взаимного притяжения, которое вызывают явления, называемые приливами. Давно известные на Земле, они полу­чили объяснение только на основе закона всемирного тяготе­ния.

Рассмотрим ускорения, создаваемые притяжением Луны в различных точках земного шара (рис. 3.13). Поскольку точ­ки А, В и О находятся на различных расстояниях от Луны, ус­корения, создаваемые ее притяжением, будут различны.

Разность ускорений, вызываемых притяжением другого тела в данной точке и в центре планеты, называется приливным ускорением.

Приливные ускорения в точках А и В направлены от центра Земли. В результате Земля, и в первую очередь ее водная оболочка, вытягивается в обе стороны по линии, соединяющей центры Земли и Луны. В точках А и В на­блюдается прилив, а вдоль круга, плоскость которого перпенди­кулярна этой линии, на Земле про­исходит отлив. Тяготение Солнца также вызывает пришвы, но из- за большей его удаленности они меньше, чем вызванные Луной. Приливы наблюдаются не только в гидросфере, но и в атмосфере и в литосфере Земли и других планет.

Вследствие суточного вращения Земля стремится увлечь за собой приливные горбы, в то же время вследствие тяго­тения Луны, которая обращается вокруг Земли за месяц, полоса приливов должна перемещаться по земной поверх­ности значительно медленнее, В результате между огромны­ми массами воды, участвующей в приливных явлениях, и дном океана возникает приливное трение. Оно тормозит вращение Земли и вызывает увеличение продолжительности суток, которые в прошлом были значительно короче (5 — 6 ч). Вместе с тем приливы, вызываемые Землей на Луне, затормо­зили ее вращение, и она теперь обращена к Земле одной сто­роной. Такое же медленное вращение характерно для многих спутников Юпитера и других планет. Сильные приливы, вы­зываемые на Меркурии и Венере Солнцем, по-видимому, яв­ляются причиной их крайне медленного вращения вокруг оси.

6. Движение искусственных спутников Земли и космических аппаратов к планетам в Солнечной системе

Возможность создания искусственного спутника Земли те­оретически обосновал еще Ньютон. Он показал, что сущест­вует такая горизонтально направленная скорость  при ко­торой тело, падая на Землю, тем не менее на нее не упадет, а будет двигаться вокруг Земли, оставаясь от нее на одном и том же расстоянии. При такой скорости тело будет прибли­жаться к Земле вследствие ее притяжения как раз на столько, на сколько из-за кривизны поверхности нашей планеты оно будет от нее удаляться (рис. 3.14). Эта скорость, которую на­зывают первой космической (или круговой), известна вам из курса физики:

Практически осуществить запуск искусственного спутника Земли оказалось возможно лишь через два с половиной столе­тия после открытия Ньютона — 4 октября 1957 г. За время, прошедшее с этого дня, который нередко называют началом косми­ческой эры человечества, искусст­венные спутники самого различ­ного устройства и назначения за­няли важное место в нашей повсе­дневной жизни. Они обеспечивают непрерывный мониторинг погоды и других природных явлений, транс­ляции телевидения и т. п. Спут­никовая навигационная система ГЛОНАСС позволяет в любой мо­мент с высокой степенью точности определить, в какой точке Земли каждый из нас находится. Пожалуй, нет в наши дни ни одной глобальной проблемы, в решении которой не при­нимали участие искусственные спутники Земли (ИСЗ).

Космические аппараты (КА), которые направляются к Луне и планетам, испытывают притяжение со стороны Солн­ца и согласно законам Кеплера так же, как и сами планеты, движутся по эллипсам. Скорость движения Земли но орбите составляет около 30 км/с. Если геометрическая сумма скорос­ти космического аппарата, которую ему сообщили при запу­ске, и скорости Земли будет больше этой величины, то КА будет двигаться по орбите, лежащей за пределами земной ор­биты. Если меньше — внутри ее. В первом случае, когда он полетит к Марсу или другой внешней планете, энергетиче­ские затраты будут наименьшими, если КА достигнет орбиты этой планеты при своем максимальном удалении от Солнца — в афелии (рис. 3.15). Кроме того, необходимо так рассчитать время старта КА, чтобы к этому моменту в ту же точку своей орбиты пришла планета. Иначе говоря, началь­ная скорость и день запуска КА должны быть выбраны таким образом, чтобы КА и планета, двигаясь каждый но своей ор­бите, одновременно подошли к точке встречи. Во втором случае — для внутренней планеты — встреча с КА должна произойти в перигелии его орбиты (рис. 3.16). Такие траекто­рии полетов называются полуэллиптическими. Большие оси этих эллипсов проходят через Солнце, которое находится в од­ном из фокусов, как и полагается по первому закону Кеплера.                       

Конструкция и оборудование современных КА обес­печивают возможность совершения ими весьма сложных маневров — выход на орбиту спутника планеты, посадка на планету, передвижение по ее поверхности и т. п.

Вопросы.

1. Почему движение планет происходит не в точ­ности по законам Кеплера?
2. Как было установлено место­положение планеты Нептун?
3. Какая из планет вызывает на­ибольшие возмущения в движении других тел Солнечной системы и почему?
4. Какие тела Солнечной системы испы­тывают наибольшие возмущения и почему?
5. По каким тра­екториям движутся космические аппараты к Луне? к пла­нетам?

6*. Объясните причину и периодичность приливов и отливов.

7*. Будут ли одинаковы периоды обращения ис­кусственных спутников Земли и Луны, если эти спутники находятся на одинаковых расстояниях от них?

Упражнение 12.

1. Определите массу Юпитера, зная, что его спутник, который отстоит от Юпитера на 422 000 км, имеет период обращения 1,77 сут. Для сравнения используйте дан­ные для системы Земля — Луна.
2. Ускорение силы тяжести на Марсе составляет 3,7 м/с², на Юпитере — 25 м/с². Рассчитайте первую космическую скорость для этих планет.
3. Сколько суток (примерно) продолжается полет КА до Марса, если он проходит по эллипсу, большая полуось которого равна 1,25 а. е.?