1. Форма и размеры Земли

Представление о Земле как о шаре, который свободно, без всякой опоры находится в космическом пространстве, являет­ся одним из величайших достижений науки древнего мира.

Считается, что первое достаточно точное определение размеров Земли провел греческий ученый Эратосфен (276 — 194 до н. э.), живший в Египте. Идея, положенная в основу измерений Эратосфена, весьма проста: измерить длину дуги земного меридиана в линейных единицах и определить, ка­кую часть полной окружности эта дуга составляет. Получив эти данные, можно вычислить длину дуги в 1°, а затем длину окружности и величину ее радиуса, т.е. радиуса земного ша­ра. Очевидно, что длина дуги меридиана в градусной мере равна разности географических широт двух пунктов: φ_B – φ_A.

Для того чтобы определить эту разность, Эратосфен сравнил полуденную высоту Солнца в один и тот же день в двух городах, находящихся на одном меридиане. Измерив высоту Солнца h_B (рис. 3.8) в полдень 22 июня в Александ­рии, где он жил, Эратосфен установил, что Солнце отстоит от зенита на 7,2°. В этот день в пол­день в городе Сиена (ныне Асуан) Солнце освещает дно самых глу­боких колодцев, т. е. находится в зените h_A. Следовательно, длина дуги составляет 7,2°. Расстояние между Сиеной (А) и Александри­ей (В) около 5000 греческих стадий — l.

Стадией в Древней Греции считалось расстояние, которое проходит легко вооруженный гре­ческий воин за тот промежуток времени, в течение которого Солн­це, коснувшееся горизонта своим нижним краем, целиком скроется за горизонт.

Несмотря на кажущееся неудобство такой единицы и до­статочную громоздкость словесного определения, ее введе­ние выглядело вполне оправданным, учитывая, что строгая периодичность небесных явлений позволяла использовать их движение для счета времени.

Обозначив длину окружности земного шара через L, по­лучим такое выражение:

откуда следует, что длина окружности земного шара равняет­ся 250 000 стадий.

Точная величина стадии в современных единицах неиз­вестна, но, зная, что расстояние между Александрией и Асуа­ном составляет 800 км, можно полагать, что 1 стадия = 160 м. Это означает, что результат, полученный Эратосфеном, прак­тически не отличается от современных данных, согласно кото­рым длина окружности Земли составляет 40 000 км.

Эратосфен ввел в практику использование терминов «широта» и «долгота». Видимо, появление этих терминов связано с особенностями формы карт того времени: они по­вторяли по очертаниям побережье Средиземного моря, кото­рое длиннее по направлению запад — восток (по долготе), чем с севера на юг (по широте).

Определить географическую широту двух пунктов оказывается гораздо проще, чем измерить рас­стояние между ними. Зачастую не­посредственное измерение крат­чайшего расстояния между этими пунктами оказывается невозмож­ным из-за различных естествен­ных препятствий (гор, рек и т.п.). Поэтому применяется способ, ос­нованный на явлении параллактического смещения и предусматри­вающий вычисление расстояния на основе измерений длины одной из сторон (базиса — ВС) и двух уг­лов В и С в треугольнике AВС (рис. 3.9).

Параллактическим смещением называется изменение направления па предмет при перемещении наблюдателя.

Чем дальше расположен предмет, тем меньше его парал­лактическое смешение, и чем больше перемещение наблюда­теля (базис измерения), тем больше параллактическое смеше­ние.

Для определения длины дуги используется система тре­угольников — способ триангуляции, который впервые был применен еще в 1615 г. Пункты в вершинах этих треугольни­ков выбираются по обе стороны дуги на расстоянии 30 — 40 км друг от друга так, чтобы из каждого пункта были видны по крайней мере два других. Основой для вычисления длин сторон во всех этих треугольниках является размер базиса АС (рис. 3.10). Точность измерения базиса длиной в 10 км со­ставляет около 1 мм. Во всех пунктах устанавливают геодези­ческие сигналы — вышки высотой в несколько десятков мет­ров. С вершины сигнала с помощью угломерного инструмен­та (теодолита) измеряют углы между направлениями на два-три соседних пункта. Измерив углы в треугольнике, од­ной из сторон которого является базис, геодезисты получают возможность вычислить длину двух других его сторон. Про­водя затем измерение углов из пунктов, расстояние между которыми вычислено, можно уз­нать длину двух очередных сторон в треугольнике. Зная длину сторон этих треугольников, можно опреде­лить длину дуги AВ.

В какой степени форма Земли отличается от шара, выяснилось в конце XVIII в. Для уточнения фор­мы Земли Французская академия наук снарядила сразу две экспеди­ции. Одна из них работала в эквато­риальных широтах Южной Амери­ки в Перу, другая — вблизи Се­верного полярного круга на тер­ритории Финляндии и Швеции.

Измерения показали, что длина од­ного градуса дуги меридиана на се­вере больше, чем вблизи экватора.

Последующие исследования под­твердили, что длина дуги одного градуса меридиана увеличивается с возрастанием географической широты. Это означало, что форма Земли — не идеальный шар: она сплюснута у полюсов. Ее полярный радиус на 21 км короче экватори­ального.

Для школьного глобуса масштаба 1 :50 000 000 отличие этих радиусов будет всего 0,4 мм, т.е. совершенно неза­метно.

Отношение разности величин экваториального и поляр­ного радиусов Земли к величине экваториального называется сжатием. По современным данным, оно составляет 1/298, или 0,0034. Это означает, что сечение Земли по меридиану будет не окружностью, а эллипсом, у которого большая ось проходит в плоскости экватора, а малая совпадает с осью вращения.

В XX в. благодаря измерениям, точность которых соста­вила 15 м, выяснилось, что земной экватор также нельзя счи­тать окружностью. Сплюснутость экватора составляет всего 1/30 000 (в 100 раз меньше сплюснутости меридиана). Более точно форму нашей планеты передает фигура, называемая эллипсоидом, у которого любое сечение плоскостью, прохо­дящей через центр Земли, не является окружностью.

В настоящее время форму Земли принято характеризо­вать следующими величинами:

экваториальный радиус                                        — 6378,160 км;

полярный радиус                                                      — 6356,777 км;

сжатие эллипсоида                                                  — 1 : 298,25;

средний радиус                                                         — 6371,032 км;

длина окружности экватора                                  — 40075,696 км.

2. Определение расстояний в Солнечной системе. Горизонтальный параллакс

Измерить расстояние от Земли до Солнца удалось лишь во второй половине XVIII в., когда был впервые определен го­ризонтальный параллакс Солнца. По сути дела, при этом из­меряется параллактическое смещение объекта, находящего­ся за пределами Земли, а базисом является ее радиус.

Горизонтальным параллаксом (р) называется угол, под которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный лучу зрения (рис. 3.11).

Из треугольника OAS можно выразить величину — рас­стояние OS = D:

где R — радиус Земли. По этой формуле можно вычислить расстояние в радиусах Земли, а зная его величину, — выра­зить расстояние в километрах.

Очевидно, что чем дальше расположен объект, тем мень­ше его параллакс. Наибольшее значение имеет параллакс Лу­ны, который меняется в связи с тем, что Луна обращается по эллиптической орбите, и в среднем составляет 57′. Параллак­сы планет и Солнца значительно меньше. Так, параллакс Солнца 8,8″. Такому значению параллакса соответствует расстояние до Солнца, примерно равное 150 000 000 км. Это рас­стояние принимается за одну астрономическую единицу (1 а.е.) и используется при измерении расстояний между те­лами Солнечной системы.

Известно, что для малых углов sinр ≈ р, если угол р выра­жен в радианах. В одном радиане содержится 206 265″. Тогда, заменяя sin р на р и выражая этот угол в радианной мере, по­лучаем формулу в виде, удобном для вычислений:

или (с достаточной точностью)

Во второй половине XX в. развитие радиотехники позво­лило определять расстояния до тел Солнечной системы по­средством радиолокации. Первым объектом среди них стала Луна. Затем радиолокационными методами были уточнены расстояния до Венеры, Меркурия, Марса и Юпитера. На ос­нове радиолокации Венеры величина астрономической еди­ницы определена с точностью порядка километра. Столь вы­сокая точность определения расстояний — необходимое условие для расчетов траекторий полета космических аппара­тов, изучающих планеты и другие тела Солнечной системы. В настоящее время благодаря использованию лазеров стало возможным провести оптическую локацию Луны. При этом расстояния до лунной поверхности измеряются с точностью до сантиметров.

 Пример решения задачи

3. Определение размеров светил

Зная расстояние до светила, можно определить его линей­ные размеры, если измерить его угловой радиус ρ (рис. 3.12).

Формула, связывающая эти вели­чины, аналогична формуле для оп­ределения параллакса:

Учитывая, что угловые диа­метры даже Солнца и Луны со­ставляют примерно 30′, а все планеты видны невооруженному глазу как точки, можно вос­пользоваться соотношением: sin ρ ≈ ρ. Тогда:

Следовательно

Если расстояние D известно, то r = Dρ, где величина ρ выражена в радианах.

Пример решения задачи

 Вопросы:

1. Какие измерения, выполненные на Земле, сви­детельствуют о ее сжатии?
2. Меняется ли и по какой причи­не горизонтальный параллакс Солнца в течение гола?
3. Каким методом определяется расстояние до ближайших планет в настоящее время?

Упражнение 11.

1. Чему равен горизонтальный параллакс Юпи­тера, наблюдаемого с Земли в противостоянии, если Юпитер в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля?
2. Расстояние Луны от Земли в ближайшей к Земле точке орбиты (перигее) 363 000 км, а в наи­более удаленной (апогее) — 405 000 км. Определите горизон­тальный параллакс Луны в этих положениях.
3. Во сколько раз Солнце больше, чем Луна, если их угловые диаметры одинаковы, а горизонтальные параллаксы равны 8,8″ и 57′ соответственно?
4. Чему равен угловой диаметр Солнца, видимого с Нептуна?