Важную роль в формировании представлений о строении Солнечной системы сыграли также законы движения планет, которые были открыты Иоганном Кеплером (1571 — 1630) и стали первыми естественно-научными законами в их совре­менном понимании. Работы Кеплера создали возможность для обобщения знаний по механике той эпохи в виде законов динамики и закона всемирного тяготения, сформулирован­ных позднее Исааком Ньютоном. Многие ученые вплоть до начала XVII в. считали, что движение небесных тел должно быть равномерным и происходить по «самой совершенной» кривой — окружности. Лишь Кеплеру удалось преодолеть этот предрассудок и установить действительную форму пла­нетных орбит, а также закономерность изменения скорости движения планет при их обращении вокруг Солнца.

В своих поисках Кеплер ис­ходил из убеждения, что «в мире правит число», высказанного еще Пифагором. Он искал соотно­шения между различными величи­нами, характеризующими движе­ние планет, — размеры орбит, период обращения, скорость. Кеп­лер действовал фактически всле­пую, чисто эмпирически. Он пы­тался сопоставить характеристики движения планет с закономер­ностями музыкальной гаммы, дли­ной сторон описанных и вписанных в орбиты планет многоугольников и т.д.

Кеплеру необходимо было по­строить орбиты планет, перейти от экваториальной системы коор­динат, указывающих положение планеты на небесной сфере, к системе координат, указывающих ее положение в плоскости орбиты. Он воспользовался при этом соб­ственными наблюдениями плане­ты Марс, а также многолетними определениями координат и кон­фигураций этой планеты, прове­денными его учителем Тихо Браге.

Орбиту Земли Кеплер считал (в первом приближении) окруж­ностью, что не противоречило наблюдениям. Для того чтобы построить орбиту Марса, он применил способ, который пока­зан на рисунке 3.5.

Пусть нам известно угловое расстояние Марса от точки весеннего равноденствия во время одного из противостояний планеты — его прямое восхождение а₁, которое выражается углом ϒT₁М₁, где Т₁ — положение Земли на орбите в этот момент, а М₁ — положение Марса. Очевидно, что спустя 687 суток (таков звездный период обращения Марса) пла­нета придет в ту же точку своей орбиты. Если определить прямое восхождение Марса на эту дату, го, как видно из рисунка 3.5, можно указать положение планеты в про­странстве, точнее, в плоскости ее орбиты. Земля в этот момент находится в точке Т₂, и, следовательно, угол ϒT₂М₂ есть не что иное, как прямое восхождение Марса — а₂.

Повторив подобные операции для нескольких других про­тивостояний Марса, Кеплер получил еще целый ряд точек и, проведя по ним плавную кривую, построил орбиту этой планеты.

Изучив расположение полученных точек, он обнаружил, что скорость движения планеты по орбите меняется, но при этом радиус-вектор планеты за равные промежутки времени опи­сывает равные площади.

Впоследствии эта закономерность получила название второго закона Кеплера.

Этот закон, который часто называют законом площадей, иллюстрируется рисунком 3.6. Радиусом-вектором называют в данном случае переменный по своей величине отрезок, соединяющий Солнце и ту точку орбиты, в которой находится планета. AA₁, ВВ₁ и CC₁ — дуги, которые проходит планета за равные промежутки времени. Площади заштрихованных фигур равны между собой.

Согласно закону сохранения энергии, полная механиче­ская энергия замкнутой системы тел, между которыми дейст­вуют силы тяготения, остается неизменной при любых дви­жениях тел этой системы. Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий планеты, которая движется вокруг Солнца, неизменна во всех точках орбиты и равна полной энергии. По мере приближения планеты к Солнцу возраст­ет ее скорость — увеличивается кинетическая энергия, но вследствие уменьшения расстояния до Солнца уменьшается энергия потенциальная.

Установив закономерность изменения скорости движения планет, Кеплер задался целью определить, по какой кривой происходит их обращение вокруг Солнца. Он был поставлен перед необходимостью сделать выбор одного из двух возмож­ных решений: 1) считать, что орбита Марса представляет со­бой окружность, и допустить, что на некоторых участках орбиты вычисленные координаты планеты расходятся с на­блюдениями (из-за ошибок наблюдений) на 8′; 2) считать, что наблюдения таких ошибок не содержат, а орбита не является окружностью. Будучи уверенным в точности наблюдений Ти­хо Браге, Кеплер выбрал второе решение и установил, что на­илучшим образом положения Марса на орбите совпадают с кривой, которая называется эллипсом, при этом Солнце не располагается в центре эллипса. В результате был сформули­рован закон, который называется первым законом Кеплера.

Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Как известно, эллипсом называется кривая, у которой сумма расстояний от любой точки Р до его фокусов есть величина постоянная. На рисунке 3.7 обозначены: О — центр эллипса; S и S₁ — фокусы эллипса; АВ — его большая ось. Половина этой величины (а), которую обычно называют большой полуосью, характеризует размер орбиты планеты. Ближайшая к Солнцу точка А называется перигелий, а наибо­лее удаленная от него точка В — афелий. Отличие эллипса от окружности характеризуется величиной его эксцентриситета: е = OS/OA. В том случае, когда эксцентриситет равен 0, фокусы и центр сливаются в одну точку — эллипс превраща­ется в окружность.

Примечательно, что книга, в которой в 1609 г. Кеплер опубликовал первые два открытых им закона, называлась «Новая астрономия, или Физика небес, изложенная в иссле­дованиях движения планеты Марс…».

Оба этих закона, опубликованные в 1609 г., раскрывают характер движения каждой планеты в отдельности, что не удовлетворило Кеплера. Он продолжил поиски «гармонии» в движении всех планет, и спустя 10 лет ему удалось сформули­ровать третий закон Кеплера.

Квадраты звездных периодов обращения планет относятся между собой, как кубы больших полуосей их орбит.

Формула, выражающая третий закон Кеплера, такова:

где Т₁ и Т₂ — периоды обращения двух планет; а₂ и а₂ — большие полуоси их орбит.

Вот что писал Кеплер после открытия этого закона: «То, что 16 лет тому назад я решил искать, <…> наконец найдено, и это открытие превзошло все мои самые смелые ожидания…»

Действительно, третий закон заслуживает самой высокой оценки. Ведь он позволяет вычислить относительные рас­стояния планет от Солнца, используя при этом уже извест­ные периоды их обращения вокруг Солнца. Не нужно опре­делять расстояние от Солнца каждой из них, достаточно из­мерить расстояние от Солнца хотя бы одной планеты. Вели­чина большой полуоси земной орбиты — астрономическая единица (а.е.) — стала основой для вычисления всех осталь­ных расстояний в Солнечной системе.

Пример решения задачи.

Вопросы:

1. Сформулируйте законы Кеплера.
2. Как меняется скорость планеты при ее перемещении от афелия к перигелию?
3. В какой точке орбиты планета обладает максимальной кине­тической энергией? максимальной потенциальной энергией?

Упражнение 10.

1. Марс в 1,5 раза дальше от Солнца, чем Земля. Какова продолжительность года на Марсе? Орбиты планет считать круговыми.
2. Синодический период малой планеты 500 суток. Определите большую полуось ее орбиты и звездный период обращения.

Задание 12.

Выполнение этого задания позволит узнать, как располагаются планеты на орбитах в настоящее время, и на­учиться самостоятельно отыскивать их на небе.

1. Нарисуйте в своей тетради орбиты четырех ближайших к Солнцу планет: Меркурия, Венеры, Земли и Марса. Для того чтобы наибольшая из орбит — орбита Марса — уместилась на листе тетради, следует выбрать масштаб, при котором 1 см соответствует 30 млн. км (1:3 000 000 000 000). Рассчитайте размеры орбит планет и с помощью циркуля проведите ок­ружности соответствующего радиуса. Необходимые данные возьмите из приложения VI.
2. Используйте данные таблицы гелиоцентрических долгот планет из «Школьного астрономического календаря» для от­вета на следующие вопросы:

а) У какой планеты: Меркурия, Венеры, Земли или Марса — эксцентриситет орбиты наибольший?

б) На какие (примерно) даты приходятся прохождения Мер­курия через перигелий? через афелий?

в) Найдите в таблице даты, на которые приходятся соедине­ния планет с Солнцем, а также их противостояний.

Гелиоцентрической долготой называется угол при центре (Солнце) между направлениями на точку весеннего равноденст­вия и на планету.

3. Пользуясь таблицей гелиоцентрических долгот планет, на орбите каждой планеты отметьте ее положения в сентябре — декабре текущего года. Для этого проведите из центра орбит в произвольном направлении луч, который будет указывать направление на точку весеннего равноденствия. От этого лу­ча на каждой орбите в направлении, противоположном дви­жению часовой стрелки, отложите дуги, соответствующие ге­лиоцентрической долготе данной планеты, и отметьте эти по­ложения.

Для того чтобы узнать, где по отношению к Солнцу распола­гается на небе та или иная планета, ориентируйте нарисованный план так, чтобы линия, соединяющая на плане положе­ние Земли на данные сутки и Солнца, была направлена в мо­мент наблюдения на Солнце. Те планеты, которые согласно их положению на плане оказываются слева от направления на Солнце, заходят позже него. Планеты, которые находятся справа от этого направления, заходят раньше Солнца, но и восходят раньше него. Для того чтобы узнать, можно ли бу­дет увидеть планеты, необходимо определить, как далеко от Солнца на небе они находятся. Если на плане угол между направлениями с Земли на Солнце и на планету менее 15°, то скорее всего планету нельзя будет наблюдать. Она либо зай­дет прежде, чем стемнеет, либо взойдет уже после того, как станет светло. Если же планета удалена от Солнца более чем на 15°, то ее следует поискать на небе на соответствующем угловом расстоянии от него.